پایان نامه ارشد با موضوع رگرسیون، سری های زمانی، شبکه‌های عصبی مصنوعی، رگرسیون خطی

محاسبه توان لیاپانوف از طریق اندازه گیری مقدار کشیدگی یا خمیدگی که در حرکت سیستم رخ می دهد ، انجام می شود . در واقع ، در این روش ، سرعت متوسطی که مسیرهای انتقالی دو نقطه ای که در ابتدا به هم نزدیک بوده اند به وبطور نمایی از یکدیگر منحرف می شوند ، محاسبه می شود . اگر ، بزرگترین توان محاسبه شده لیاپانوف مقدار مثبتی باشد ، سیستم دارای رفتاری آشوبی است و بالعکس . روش محاسبه به صورت زیر است :
اگر بین X_(n+1),X_n رابطه تبعی زیر وجود داشته باشد :
x_(n+1)=f(x_n ) (2-10)
می توان فاصله بین x_0+4 , x_0 را با ε و فاصله بین f^n (x_n )و f^n (x_0+4)را با تابع نمایی εe^xλ(x_0 ) نشان داده به عبارت دیگر :
εe^xλ(x_0 ) =|f^n (x_0+4)-f(x_0 )|(2-11)
که در آن e^xλ(x_0 ) در واقع ، میانگین اختلاف بین نقاط مجاور در هر تکرار را نشان می دهد . λ به نمای لیاپانوف معروف است . حد رابطه فوق به صورت زیر است :
λ(x_0 )=lim┬(ε→۰)⁡lim┬(x→∞)⁡〖۱/n log|(f^x (x_0+4)-f^x (x_0 ))/4|〗 (۲-۱۲)
و یا
λ(x_0 )=lim┬(x→∞)⁡〖۱/n log|(df^n (x_0 ))/〖dx〗_۰ |〗(۲-۱۳)
برای سری های آشوبناک مقدار توان لیاپانوف مثبت و در غیر این صورت منفی است .
برای برآورد توان لیاپانوف می توان از روش ماتریس ژاکوبین که از سوی نیچکا و دیگران[۱۱] که به شرح زیر پیشنهاد شده است ، استفاده کرد .
فرض کنید داده های {x_t } که به وسیله یک مدل خود رگرسیون غیر خطی از نوع زیر ایجاد شده اند .
x_t=f(x_(t-1),x_(t-2),…,x_(t-ml) )+e_t (2-14)
که در آن l معرف تاثیر زمانی و m طول خود رگرسیون است . e_t نیز دنباله ای از متغیرهای تصادفی مستقل با میانگین صفر و واریانس ثابت است . رابطه بالا را می توان در قالب فضا – حالت به صورت زیر نمایش داد .
[■([email protected]_(t-1)@■(⋮@x_(t-ml+1) ))]=[■(f(x_(t-1),x_(t-2),…,x_(t-ml+1) )[email protected]_(t-1)@■(⋮@x_(t-ml+1) ))]+[■([email protected]@■(⋮@۰))] (۲-۱۵)
یا به طور خلاصه تر :
x_t=f(x_t-l)+e_t (2-16)
حال ، توان لیاپانوف را می توان به این صورت تعریف کرد . اگر ، X_0, R^m σX_0 معرف دو بردار اولیه نزدیک به هم باشند ، بعد از تکرار معادله یاد شده به تعداد m بار با اعداد تصادفی یکسان و استفاده از بسط تیلور ، می توان نوشت :
|X_M-X_M^’ |=|F^M (X_0 )-F^M (X_0^’ )|≈|(DF^M )_(X_0 ) (X_0-X_0^’ )|(2-17)
که در آن F^M بیانگر M امین تکرار F و D(F^M ) X_0 نیز ماتریس ژاکوبین F بوده که در X_0 ارزیابی شده است . با استفاده از قانون مشتق زنجیره ای می توان رابطه زیر را بدست آورد :
|X_M-X_M^’ |=|T_M (X_0-X_0^’ )|(2-18)
که در آن T_M=J_M,J_(M-1),…,J_1 و J_t=(〖DF〗^M )_(x_t ) است . اگر v_l (M) بزرگترین مقدار مشخصه۴۶ ماتریس T_M^T 〖 T〗_M باشد ، توان لیاپانوف مسلط را می توان به صورت زیر تعریف کرد .
λ=lim┬(M→∞)⁡〖۱/۲M |(x|v_l (M)|)|〗(۲-۱۹)
در این حالت ، λ نرخ بلند مدت واگرایی با همگرایی بین مسیرهای زمانی را نشان می دهد . چنانچه λ مثبت باشد ، دلالت به این دارد که دو نقطه مجاور به صورت نمایی از هم دور می شوند و مثبت بودن λ به معنی همگرایی نمایی مسیرهای زمانی آن دو نقطه است . در حالت اول مثبت بودن توان لیاپانوف (λ ) حاکی از وجود یک فرآیند آشوبی است .
۲ – ۴ – ۵ : آزمون شبکه های عصبی مصنوعی[۱۲] ۴۷
از مدل شبکه‌های عصبی مصنوعی می‌توان به عنوان یک آزمون برای یافتن فرایند غیر خطی
پویا از جمله فرآیند آشوبناک در داده‌ها استفاده کرد. مدل شبکه‌های عصبی مصنوعی ، مدل‌های غیرخطی انعطاف پذیری هستند که قادرند برآورد و پیش بینی سری‌های زمانی غیر خطی پیچیده را با دقت قابل قبولی انجام دهند. مدل‌های شبکه‌های عصبی مصنوعی معمولا شامل سه لایه ورودی ، میانی و خروجی هستند. داده‌های ورودی به دو صورت مستقیم و یا غیر مستقیم و از طریق توابع انتقالی در بخش میانی به لایه خروجی مرتبط می‌شوند. ارتباط مستقیم بخش خطی و ارتباط از طریق لایه میانی ، بخش غیر خطی مدل را مشخص می‌کنند. آزمون شبکه‌های عصبی مصنوعی به صورت زیر تعریف می‌شوند:
یک مدل شبکه عصبی تعمیم یافته را می‌توان به صورت زیر نوشت :
y=β_°+Xδ+∑_i^f▒〖G(Xγ_j ) β_j+ε j=↑ , …, f〗(۲-۲۰)
که در آن δ یک بردار ضرایب ( وزن‌ها ) بین داده‌های لایه ورودی (X) و لایه خروجی (y) سیستم است ، γ شامل بردارهای ضرایب بین q لایه میانی و لایه خروجی ، β بردار ضرایب بین لایه ورودی و لایه میانی و G تابع انتقالی در لایه میانی است.همان گونه که تابع بالا نشان می دهد ، در این حالت خروجی مدل (y) تابعی از دو مؤلفه خطی (Xδ ) و غیر خطی ∑▒〖G(Xγ_j ) β_j 〗 است . اگر سری زمانی x دارای فرایند خطی باشد ، عبارت غیر خطی باید حذف شود . بنابراین در این آزمون ، می توان فرضیه صفر را β=۰ قرار داد . اگر یک فرآیند خود رگرسیون مانند AR را بر روی سری زمانی اجرا کنیم ، پسماندهای بدست آمده را می توان برای آزمون وجود فرآیند غیر خطی در سری زمانی مورد استفاده قرار داد . در صورتی که یک فرآیند خطی به داده‌ها حاکم باشد، پسماندهای یاد شده نباید با فرآیند خود رگرسیون و هر تابعی از وقفه‌ها بستگی داشته باشد، بنابراین می‌توان فرضیه صفر را به صورت E(e_t G_t )=0تعریف کرد که در آن ، 〖 e〗_tهمان پسوندهای رگرسیون خطی y روی X و Gبردار مقادیر لایه های میان مدل شبکه عصبی مصنوعی هستند . لی و دیگران[۵]۴۸نشان دادند که آماره t به شرح زیر در صورت صحت فرضیه صفر دارای توزیع کای – دو با در جه آزادی f است .
z=[T^((-1)⁄۲) ∑_(t=1)^T▒〖G_t e_t 〗] W ̂^(-۱) [T^((-1)⁄۲) ∑_(t=1)^T▒〖G_t e_t 〗](۲-۲۱)
که در آن ، W ̂برآورد کننده سازی از ϕW=var [T^((-1)⁄۲) ∑_(t=1)^T▒〖G_t e_t 〗] است . برای پرهیز از مشکل هم خطی بین X و عناصر G می توان مؤلفه های اصلی G را که با X همبستگی ندارند به جای G به کار گرفت . در این حالت ، آماره دیگری به شرح زیر وجود دارد که محاسبه آن ساده تر از آماره Z است .
〖TR〗^۲→X^2 (f)
که در آن ، T تعداد کل مشاهدات و R^2 ضریب همبستگی بدست آمده از رگرسیون خطی پسماندهای ( e ) روی مولفه اصلی G است که با X همبستگی ندارند . اگر ، آماره بالا برای یک سری زمانی بیشتر از مقادیر بحرانی داده شده در توزیع کای – دو باشد ، دلالت به این دارد که یک فرآیند غیر خطی پویا برای داده های حاکم است و در غیر این صورت ، داده ها از یک فرآیند خطی پیروی می کنند .
نکته ای که باید در این ازمون به آن توجه کرد این است که رد فرضیه صفر لزوماً به معنای وجود یک فرآیند آشوبناک نیست . بنابراین اگر پژوهشگر باید به دنبال کشف چنین فرایندی است باید از آزمون های مکمل یاری جوید .
۲ – ۵ سری های زمانی
۲ – ۵ – ۱ تعریف
سری زمانی مجموعه ای از مشاهدات است که بر حسب زمان ( یا هر کمیت دیگر) مرتب شده باشد . و معمولاً آن را به صورت زیر نشان می دهند :
X_(t_1 ),X_(t_2 ),…, X_(t_N )
این قبیل مشاهدات معمولا در کسب و کار ، اقتصاد ، قیمت سهام در بازار بورس ، شاخص های قیمت ماهانه ، ارقام فروش سالانه و غیره بدست می آیند .
۲ – ۵ – ۲ انواع سری های زمانی
سری های زمانی را معمولاً به صورت گسسته یا پیوسته بررسی می کنند . اگر مشاهدات به طور پیوسته بر حسب زمان در نظر گرفته شوند ، سری زمانی حاصل را پیوسته می نامند . اما اگر مشاهدات را به طور منظم در فاصله های مساوی ثبت کنیم یک سری زمانی گسسته بدست می آید .
۲ – ۵ – ۳ اجزاء تشکیل دهنده سری زمانی
تغییرات سری زمانی می تواند به علت تغییرات بعضی از عوامل زیر باشد که تعدادی از انها طبیعی و بعضی ناشی از عوامل اقتصادی و اجتماعی هستند . با دقت در سری زمانی و با توجه به نمودار آن ، اجزاء تشکیل دهنده سری زمانی را می توان شناخت و انها را اندازه گیری کرد . معمولا برای تحلیل یک سری زمانی فرض می کنیم این تغییرات نتیجه چهار مؤلفه اصلی هستند . این اجزاء یا مؤلفه ها به شرح زیرند .
۱ ) روند
روند عبارت از تغییرات دراز مدت در میانگین سری زمانی است . به عبارت دیگر سیر طبیعی سری زمانی در دراز مدت را روند گویند . در این صورت افت و خیزهای سری زمانی نادیده گرفته می شود و نمای کلی آن مورد توجه است . از مطالعه داده ها در یک دوره طولانی می توانیم یک ایده کلی نسبت به رفتار پدیده مورد بررسی بدست آوریم که در پیش بینی آینده به ما کمک کند .
شکل (۲-۱).روند دراز مدت [۳]
۲ ) تغییرات فصلی
تغییرات فصلی تغییراتی هستند که در دوره های تناوبی کوتاه مدت پیش می آیند . این تغییرات مربوط به عواملی هستند که به طریقی مسلم و چرخه ایی روی یک دوره کمتر از یک سال عمل می کنند . اگر مشاهدات سری زمانی به صورت سه ماه ، ماهانه ، هفتگی و یا روزانه و غیر ثبت شوند ، تغییرات فصلی در سری زمانی وجود دارد .
شکل(۲-۲). روند و تغییرات فصلی[۳]
۳ ) تغییرات دوره ای
حرکات نوسانی در یک سری زمانی با دوره نوسان بیشتر از یک سال را تغییرات دوره ای می نامند . این تغییرات در سری های زمانی به واسطه افت و خیزهایی است که بعد از یک دوره بیشتر از یک سال رجعت می کنند . نوسانات دوره ای ممکن است دقیقاً از طرح های مشابهی بعد از فواصل زمانی مساوی پیروی کنند ، ولی همیشه این طور نیست . یک دوره کامل را که معمولاً ۷ تا ۹ سال طول می کشد اصطلاحاً یک « دوره » می نامند .
شکل (۲-۳)تغییرات دوره ای[۳]
۴ ) تغییرات نامنظم
در هر سری زمانی عامل دیگری وجود دارد که آن را تغییرات نامنظم یا تصادفی می نامند . این تغییرات کاملاً تصادفی بوده و نتیجه عوامل غیر قابل پیش بینی هستند که به طریقی نامنظم عمل می کنند . این گونه تغییرات طرح معینی را نشان نمی دهند و دوره زمان وقوع انها منظم نیست ، به این دلیل است که آن را تغییرات نامنظم می نامند . این تغییرات به وسیله عواملی مانند سیل ها ، زلزله ، اعتصاب ها ، و … به وجود می آیند که رفتار انها نامنظم و غیرقابل پیش بینی است . این تغییرات به طور معمول کوتاه مدت هستند ولی گاهی اوقات اثر انها به اندازه ای زیاد است که باعث پیدایش تغییرات دوره ای و تغییرات دیگر می شود . به دلیل تصادفی بودن این تغییرات ، نه امکان جدا سازی ومطالعه انحصاری انها وجود دارد و نه انها را می توان به طور دقیق پیش بینی

اینم بخونین:   مقاله رایگان درموردسری های زمانی، مدل سازی، شبکه عصبی، تقسیم بندی