یه سری های پویای پایدار ( معمولی یا آشوبی ) دارای حدی هستند که به آن تعادل یا جذب کننده گفته می شود . به عنوان مثال مسیر زمانی x_t در معادله تفاضلی مرتبه اول 〖 x〗_(t+1)=0.2x_tبه سمت مقدار تعادلی x = 0 گرایش دارد ، به طوری که با هرمقدار اولیه x_t مسیرزمانی آن درحد به مرکز مختصات در نمودارمرحله ای ۳۳ جذب خواهد شد . بنابراین در این حالت مرکز مختصات که یک نقطه است جذب کننده این سری نامیده می شود . در موارد دیگر جذب کننده ها ممکن است پیچپده تر از یک نقطه باشند. در سیستم‌های آشوبی جذب کننده‌ها بسیار پیچیده و عجیب هستند که می‌توان آن‌ها را به این صورت تعریف کرد .
یک جذب کننده پیچیده یک مجموعه نقاط غیر قابل شمارش است۳۴ به طوری که کلیه مسیرهای زمانی مجاور، به آن جذب خواهند شد . مسیرهای زمانی که داخل مجموعه شروع شوند می توانند غیر قابل تکرار باشند و یا به هر تعداد از قبل تعیین شده به طور اختیاری تکرار شوند .
در برخی از سیستم‌های پویای غیر خطی که دارای جذب کننده‌های پیچیده‌ای هستند، می‌توان مسیر رفته شده را عیناً برگشت. در این سیستم‌ها که به هاملیتونین۳۵ معروف هستند، اگر شرایط اولیه معادلات حرکت را داشته باشیم،۳۶ می‌توانیم مسیرهای حل شده به سمت جذب کننده‌ها را در جهت معکوس دنبال کنیم. به عبارت دیگر ، این سیستم‌ها از نظر زمان برگشت پذیر هستند. در برخی مدل‌های پویای غیرخطی هر چند در صورت در دست داشتن شرایط اولیه و معادلات حرکت ، امکان محاسبه تقریبی مسیرهای انتقالی وجود دارد، اما این مسیرها غیر قابل برگشت زمانی هستند، زیرا تعداد بی نهایت مسیرهای زمانی انتقالی وجود دارند که به جذب کننده‌ها منتهی شده‌اند. این مدل‌های،همان مدل‌های آشوبی هستند.
۲ – ۳ – ۲ حساسیت بسیار زیاد به شرایط اولیه
یک سری زمانی آشوبی به شرایط اولیه حساسیت بسیار زیادی دارد . اگر دو سری زمانی با فرآیندهای آشوبی ولی با شرایط اولیه بسیار نزدیک به هم را در نظر بگیریم ، مسیرهای زمانی انها پس از مدتی متمایز شده و به طور کامل به صورت دو سری زمانی متفاوت از یکدیگر به نظر خواهند رسید . هر چه شرایط اولیه دو سری به هم نزدیک تر باشند ، مدت زمانی که مسیرهای زمانی انها شبیه به هم باشند ، بیشتر خواهد شد . این شدت وابستگی به شرایط اولیه در یک سری ، به پدیده « بال پروانه »۳۷شهرت یافته است ، بدین ترتیب که اگر ، جریان هوا یک فرآیند آشوبی باشد ، بال زدن یک پروانه می تواند منجر به ایجاد تغییرات اساسی در آب و هوای جهان مانند شروع طوفان و گردباد در اقیانوس و یا جلوگیری از بروز یک خشکسالی در آفریقا در آینده شود[۲] . این ویژگی سری های آشوبی به خوبی بیانگر این است که اگر متغیرها ، فرآیند آشوبی داشته باشند ، پیش بینی متغیرها بسیار مشکل و در بلند مدت غیر ممکن خواهد بود ، زیرا در صورت بروز کوچکترین تغییر در شرایط اولیه، رفتار سری به طور کلی تغییر یافته و با سری قبلی کاملاً متمایز خواهد بود. عناصری که شرایط اولیه را تعیین می کنند عبارتند از مقدار اولیه متغیر (x_t) و مقدار پارامتر (۰.۲ω) ، نکته جالب در رفتار یک سری آشوبناک این است که تغییر بسیار کوچک در هر یک از این مقادیر ، مسیر زمانی کاملاً جدا و متمایزی را ایجاد می کند .
۲ – ۳ – ۳ – شکستگی های ناگهانی ساختاری در مسیر زمانی
سری های آشوبی در برخی از مراحل مسیر زمانی خود ممکن است دچار شکست های ناگهانی ساختاری شوند . نمودار (۲-۵) نشان می دهد که چگونه یک سری آشوبی پس از ۲۵ دروه نوسانات یکنواخت از نقطه A تا B به یک باره دچار شکستگی شده و به مدت ۱۰ دوره، مسیری کاملاً هموار را از B تا C دنبال می کند و مجدداً دچار نوسان شده تا این که در نقاط D تا E به صورت هموار در می آید . این ویژگی سری های آشوبی کار پیش بینی انها را بسیار مشکل می کند .
این پدیده ، حاکی از آن است که رفتار یک سری آشوبی به طور کلی با رفتار یک سری تصادفی متفاوت است ، یک سری آشوبی در حقیقت ، از یک فرآیند معین تبعیت می کند ، فرایندی که دچار اختلال بسیار بزرگ تصادفی است که در فواصل تصادفی اتفاق می افتد.اگر رفتار یک سری از فرآیند تصادفی بدست آمده باشد ، قابل پیش بینی نیست و اما اگر از فرآیند آشوبی ایجاد شده باشد ، هر چند پیچیده بوده و تصادفی به نظر برسد ، به علت معین بودن فرآیند ، قابل پیش بینی است .
نمودار (۲-۵ فرآیند معین با اختلالات بزرگ تصادفی در فواصل تصادفی
۲ – ۴ آزمون های کشف آشوب
همان‌گونه که در بخش قبلی توضیح داده شد، وجود آشوب در سری‌های اقتصادی می‌توان نتایج جدی و بسیار متفاوتی در مدل‌های رایج اقتصاد کلان داشته باشد. به دنبال بحث‌های نظری ، پژوهش‌های تجربی متعددی پیرامون وجود فرایند غیر خطی در سری‌های اقتصادی با روشی نو و پیچیده‌تری صورت گرفته است. اقتصاد دانان در مواجهه با آمار و اطلاعات سری‌های زمانی متغیرهای اقتصادی که نوسانات نامنظم دارند، علاقه مندند بدانند که آیا مدل یا سیستم اقتصادی واقعی مورد نظر ،رفتار آشوبی دارد یا خیر .
در ادبیات مربوط به آشوب، آزمون‌های متعددی برای تشخیص فرآیندهای آشوبی از فرایندهای تصادفی مطرح شده اند. برخی از این آزمون ها فرضیه تصادفی یک فرآیند را آزمون می‌کنند، ولی برخی دیگر یکی از خصوصیات فرآیندهای آشوبی را آزمون می‌کنند[۶]. گروه اول را می‌توان به عنوان آزمون‌های غیر مستقیم و گروه دوم را آزمون‌های مستقیم برای کشف فرآیندهای آشوبی نام برد. در آزمون‌های غیر مستقیم معمولاً تصادفی بودن پسماندهای رگرسیون خطی یا غیر خطی آزمون می‌شود. از طرفی ، رد فرضیه تصادفی بودن پسماندها لزوماً به معنای آشوبی بودن یک فرآیند نیست ، زیرا ممکن است این مساله به علت نوع تصریح مدل خطی و یا غیر خطی مورد استفاده در آزمون باشد .
مهم‌ترین آزمون‌های آشوب عبارتند از: آزمون بعد همبستگی ، آزمون تکمیلی براک ، آزمون BDS38[9] آزمون توان لیاپانوف۳۹آزمون شبکه عصبی و آزمون آنتروپی لولموگروف۴۰که ما در این تحقیق از آزمون بعد همبستگی استفاده خواهیم کرد .
۲ – ۴ – ۱ آزمون بعد همبستگی
گراسبرگر و پروکاچا[۱۰]الگوریتم بعد همبستگی را برای جستجوی رفتار آشوبناک در سر زمانی پیشنهاد کرده‌اند که این الگوریتم ، بعد سیستم مولد داده‌های تخمین می‌زند. کار تحلیلی سری زمانی ، با سری یک بعدی به صورت{x_t }_(t=1)^T شروع می‌شود که می‌توان آن را به ماتریسی با ابعاد M×T به شکل زیر تبدیل کرد.
X_t=(x_t,x_(t-1),…,x_(t+m-1) )^Transpose (2-5)
Embedding dimensionlym می‌نامند. هر ردیف از ماتریس X_t ، یک بردار m تایی (یک نقطه در فضای حالت –m بعدی) است. تعداد این نقاط در فضای فاز از رابطه N=T-m+1بدست می‌آید. اگر {x_t:t=1,2,…T}یک نمونه تصادفی از متغیرهایی باشد که مستقل از یکدیگر و دارای توزیع احتمالی یکسانند، آن گاه به ازای مقادیر مشخص ε, m خواهیم داشت :
C_m (ε)=C_1 (ε)^m T→∞(۲-۶)
C_m (ε)=lim┬(T→∞)⁡〖{the number of (ij)for which|X_i^m-X_j^m |≤ε}⁄T^2 〗
C_m (ε)همبستگی جمعی۴۱با تعداد نقاط موجود در فضای m بعدی است که فاصله کمتر از مقدار کوچک و معین ε از یکدیگر دارند. اگر سری زمانی از فرآیند تصادفی نتیجه شده باشد، با افزایش m ، نقاط موجود در فضای حالت m بعدی ، در تمامی جهات پراکنده خواهند شد، ولی اگر سری از یک فرآیند معین نتیجه شده باشد، نقاط به سمت زیر مجموعه‌ای از فضای حالت جذب می شوند. در این وضعیت با افزایش m ، بعد جاذب در فضای حالت از محدوده‌ای فراترنخواهد رفت و عددی کوچکتر از m خواهد بود بعد همبستگی طبق رابطه زیر بدست می‌آید :
D^m=lim┬(ε→∞)⁡〖〖logc〗_m/log_ε 〗 (۲-۷)
در یک سیستم آشوبناک به ازای مقادیر ε ، با افزایش m ، از تعداد نقاطی که در فضای حالت فاصله ای کمتر از ε دارند کاسته شده، در حالی که در یک سیستم تصادفی با افزایش m ، و کاهش ε ، D^mافزایش می‌یابد. در یک سیستم آشوبی با افزایش m و کاهش, ε D^mنیز کاهش می‌یابد.
۲ – ۴ – ۲ آزمون BDS
این آزمون ،آزمونی است بر اساس انتگرال همبستگی که تصادفی بودن فرآیند ایجاد کننده یک سری زمانی در مقابل وجود همبستگی کلی در آن را ارزیابی می‌کند. آزمون به شرح زیر ساخته شده است.
براک۴۲ و دیگران نشان دادند که برای یک سری زمانی با توزیع مستقل و مشابه (IID)43می‌توان نوشت :
lim┬(T→∞)⁡〖[C^m (ε)]=C^1 (ε)^m 〗 (۲-۸)
که در آن ، C^m (ε) همان انتگرال همبستگی با بعد M است . آماره BDS بر اساس اختلاف استاندارد شده بین این دو انتگرال همبستگی که توزیع مجانبی نرمال دارد به شرح زیر بنا شده است .
W_T^M (ε)=(T[C_T^M (ε)-C_T^1 (ε)]/(σ_T^M (ε) ))^(۱⁄۲) (۲-۹)
به طوری که در آن σ_T^M (ε) انحراف معیار داخل علامت [ ] است .
این آماره با فرض صحت فرض صفر (تصادفی بودن فرآیند سری زمانی) توزیع مجانبی نرمال استاندارد دارد. بنابراین ، با توجه به توضیحات گفته شده ، روش انجام آزمون BDS به ترتیب زیر خواهد بود :
ابتدا فرایند خطی سری زمانی از طریق مدل ARIMA استخراج می شود . سپس آماره W برای پسماندهای مدل محاسبه می شود . اگر W محاسبه شده معنی دار بود ، تصادفی بودن برای زمانی رد می شود ، یا به عبارت دیگر ، وجود فرآیند غیر خطی مدل تأیید می شود . در غیر این صورت ، آزمون انجام شده دلالت بر یک فرآیند خطی خواهد داشت . نوع غیر خطی بودن فرآیند حاکم بر سری زمانی باید از طریق آزمون های تکمیلی دیگری مشخص شود .
۲ – ۴ – ۳ آزمون براک ( پسامند براک )۴۴
براک در سال ۱۹۸۶[۲۶] نشان داد اگر سیستم آشوبی باشد اعمال یک تبدیل خطی یا یک تبدیل غیر خطی هموار بر مشاهدات ، بعد همبستگی بدست آمده را تحت تاثیر قرار نمی دهد . اما اگر سیستم غیر آشوبی باشد ، این تغییرات نیز بر سیستم موثر خواهند بود . بنابراین ، محاسبه بعد همبستگی یک بار از روی داده های اصلی و یک بار دیگر از روی پسماندهای بر جای مانده از یک برازش خطی (نظیر AR) و مقایسه این دو عدد با یکدیگر ، می تواند خود به عنوان یک آزمون مطرح شود . اگر این دو عدد مشابه بودند یعنی سیستم آشوبی است و اگر این دو عدد متفاوت بودند یعنی سیستم غیر آشوبی است .
۲ – ۴ – ۴ آزمون توان لیاپونوف۴۵
آزمون توان لیاپونوف بر اساس این ویژگی است مدل های آشوبی است که نقاط مجاور در این سری ها به مرور از هم جدا شده و نسبت به هم واگرا می شوند . توان لیاپونوف این واگرایی را به وسیله یک تابع نمایی اندازه گیری می کند .